Alates 2012. aasta juunist oli Klimkin Ukraina suursaadik Saksamaal, vahendab Interfax-Ukraina.

1967. aastal sündinud Klimkin lõpetas 1991. aastal Moskva füüsikalis-tehnilise instituudi aerofüüsika- ja kosmoseuuringute teaduskonna füüsika ja rakendusmatemaatika erialal.

Ukraina välisministeeriumi asus Klimkin tööle 1993. aastal ning oli seal sõjalise kontrolli ja desarmeerimisosakonna atašee ning kolmas ja teine sekretär.

Aastatel 2004-2008 töötas Klimkin Ukraina saatkonnas Suurbritannias.

2008. aasta märtsist kuni 2010. aasta aprillini oli Klimkin Ukraina välisministeeriumi Euroopa Liidu osakonna direktor.

2010. aasta aprillist kuni 2011. aasta 29. aprillini oli Klimkin Ukraina välisministri asetäitja ning seejärel kuni 2012. aasta 22. juunini välisministri aparaadi juht.