Suur osa tema karjäärist möödus välismaal, vabatahtlikult valitud eksiilis, pärast seda kui ta asus toetama Nobeli preemia laureaati Aleksandr Solženitsõnit ning Nõukogude Liidust lahkuma pidi.

Rostropovitš sündis 27. märtsil 1927 Bakuus, muusikute peres. 15 aastaselt alustas ta muusikaõpinguid Orenburgis, 16 aastaselt astus Moskva konservatooriumi. 18 aastaselt anti talle esimene preemia üleliidulisel noorte muusikute konkursil ning konservatooriumis viidi ta teiselt kursuselt üle viiendale. Rostropovitši õpetajateks olid kuulsad heliloojad Sergei Prokofjev ja Dmitri Šostakovitš. Kohe peale kooli lõpetamist alustas ta säravat kontserttegevust.

Rostropovitši elu kodumaal kujunes keeruliseks. Tema toetus Solženitsõnile ajalehes Pravda avaldatud võimudele adresseeritud kirjas asetas ta võimude ebasoosingusse ning 1972. aastal oli ta sunnitud Nõukogude Liidust lahkuma. 1978. aastal võeti Rostropovitšilt ja ta abikaasalt Galina Višnevskajalt õiguskaitsealase tegevuse (eelkõige Soleženitsõni aitamise) eest nõukogude kodakondsus.

1989. aasta novembris andis ta improvisatoorse kontserdi Berliini müüri lammutamise taustaks, mängides seal Bachi süiti. Esinemist näidati kogu maailmas.

1990. aastal andis Mihhail Gorbatšov välja määruse Ülemnõukogu Presiidiumi otsuse tühistamise kohta ning Rostropovitšile temalt võetud aunimetuste tagasi andmise kohta.

1991. aasta augustikuise putši ajal lendas Rostropovitš Moskvasse, et avaldada toetust Boriss Jeltsinile.

Hiljem jagas ta oma aega nii Venemaa, USA kui Prantsusmaa vahel.

President Putini sõnul on tema surm vene kultuuri kaoks „kohutav kaotus”. Kuu aega tagasi peetud maestro 80 sünnipäeva tähistamisel nimetas Putin teda mitte ainult „briljantseks tšellistiks ja andekaks dirigendiks”, vaid ka „inimõiguste kindlaks kaitsjaks”.

Rostropovitš maetakse Moskva Novodevitše kalmistule, kuhu maeti sel nädalal ka tema sõber, endine president Boriss Jeltsin.

2002. aastal BBC-le antud intervjuus nimetas Rostropovitš 2002. aastal Pravdale kirjutatud kirja parimaks teoks, mida ta oma elus teinud oli. „Parima sammu oma elus ei leidnud ma mitte muusikas, vaid sellel ühel kirjaleheküljel,” ütles ta. „Sellest ajast alates oli mu südametunnistus selge ja puhas.”