Veenre õppis Tallinna Konservatooriumis, Tallinna Muusikakoolis, Riiklikus Konservatooriumis koorijuhtimist ja kompositsiooni ja lõpetas Heliloojate Liidu seminari 1958. aastal. Ta tegutses orkestrandina, ansambli- ja koorijuhina, töötas ENSV Rahvaloomingu Majas, muusikasaadete toimetajana Eesti Raadios, dirigendina Noorsoo Kultuuripalees, Kirovi nim. kalurikolhoosis ja Tallinna Toomklubis.

Eesmärgiga populariseerida eesti rahvamuusikat ja rahvalikku heliloomingut moodustas Uno Veenre 1960. aastal Eesti Raadio juurde rahvamuusikaansambli ja aastal 1965 orkestri “Vikerlased”, mis andsid tõuke laialdasele rahvamuusikaansamblite moodustamisele ja elava huvi tekkimisele rahvamuusika vastu üle Eesti.

Uno Veenre on olnud initsiaatoriks Eesti Orkestrijuhtide Rahvamuusikaorkestri (1964) moodustamisel ja vabariiklike rahvamuusikapäevade korraldamisel. Aastatel 1960-2000 oli Veenre üldlaulu- ja tantsupeol rahvamuusikaorkestrite üldjuht.

Uno Veenre on salvestanud Eesti Raadiole üle 200 pala, nii rahvamuusika seadeid kui ka autorite rahvatoonis lugusid. Tema juhatatud ansamblitega on esinenud paljud Eesti tippsolistid nagu Tiit Kuusik, Georg Ots ja Anu Kaal. Ta on kirjutanud soolo-, ansambli- ja koorilaule, hulgaliselt originaalpalu rahvamuusika-, kammer- ja puhkpilliorkestritele, koostanud ja toimetanud mitmeid laulikuid.

Uno Veenre ärasaatmine toimub laupäeval, 17. septembril kell 14.00 Kaarli kirikus. Hüvasti jätta saab alates kell 13.30.