Parmasto sündis 23. oktoobril 1928 Nõmmel. Aastal 1952 lõpetas Parmasto Tartu Riikliku Ülikooli bioloogia erialal.

Aastast 1950 töötas ta vikipeedia andmetel EPMÜ Zooloogia ja Botaanika Instituudis, aastail 1981–1991 samas mükoloogialabori juhataja, 1985–1990 direktor, aastast 1991 mükoloogiaosakonna vanemteadur.

1956 kaitses ta bioloogiakandidaadi kraadi NSVL Teaduste Akadeemia botaanikainstituudi juures, 1969 bioloogiadoktori kraadi ENSV Teaduste Akadeemia juures.

Aastatel 1973–1981 oli Parmasto ENSV Teaduste Akadeemia keemia-, geoloogia- ja botaanikateaduste osakonna akadeemik-sekretär, 1986–1990 Teaduste Akadeemia zooloogia- ja botaanikainstituudi direktor.

Aastatel 1987–1995 oli ta Tartu Ülikooli botaanika ja ökoloogia õppetooli professor. Parmasto eestvõttel taasasutati ajakiri Eesti Loodus, ühtlasi oli ta 1958–1960 ka esimene toimetaja.